Chapitre : 1. Algèbre et Analyse : Étude des fonctions, les fonctions polynomiales

En Terminale D au Burkina Faso, l'algèbre et l'analyse constituent des parties essentielles du programme de mathématiques. Voici un aperçu détaillé des différents chapitres qui composent cette partie du programme :

1. Étude des fonctions
Fonctions polynomiales :
Définition des fonctions polynomiales (degré, racines).
Étude de la variation des fonctions du second degré (trinômes).
Racines et factorisation des polynômes (théorème de Bezout, division euclidienne).
Fonctions rationnelles :
Expressions rationnelles sous forme de fraction (simplification, mise en facteur).
Étude des asymptotes (verticales et horizontales) et des limites aux bornes de définition.
Étude des variations et tracé des courbes associées.
Fonctions exponentielles :
Définition de la fonction exponentielle et propriétés principales.
Étude des dérivées, variations et comportement asymptotique.
Fonctions logarithmiques :
Définition de la fonction logarithme népérien et propriétés.
Logarithmes et équations logarithmiques.
Étude des dérivées et des variations des fonctions logarithmiques.
Limites et continuité :
Définition des limites (finies et infinies).
Calcul des limites avec les règles de l'Hôpital.
Notion de continuité d'une fonction sur un intervalle.
Dérivées et tangentes :
Définition et interprétation géométrique de la dérivée (taux de variation).
Calcul des dérivées des fonctions usuelles (polynomiales, rationnelles, exponentielles, logarithmiques).
Application des dérivées pour déterminer les variations d'une fonction.
Tracé de courbes avec étude des variations et des points critiques.
2. Équations et inéquations
Équations polynomiales et rationnelles :
Résolution d'équations du premier et du second degré.
Facteur commun et résolutions d'équations polynomiales par factorisation.
Résolution d'équations rationnelles : identification des conditions d'existence, réduction au même dénominateur.
Inéquations :
Résolution d'inéquations polynomiales et rationnelles.
Utilisation des tableaux de signes pour résoudre les inéquations.
Interprétation graphique des solutions.
3. Suites numériques
Suites arithmétiques :
Définition, terme général d'une suite arithmétique.
Propriétés des suites arithmétiques : somme des termes d'une suite finie.
Suites géométriques :
Définition, terme général d'une suite géométrique.
Somme des termes d'une suite géométrique.
Étude des suites convergentes et divergentes.
Limites des suites :
Convergence d'une suite.
Notion de suite croissante, décroissante, majorée et minorée.
Théorème de la limite d'une suite.
4. Intégration
Notions d'intégrale :
Définition de l'intégrale d'une fonction sur un intervalle.
Calcul d'intégrales simples : méthode des primitives.
Propriétés de l'intégrale :
Linéarité de l'intégration.
Applications des intégrales : calcul d'aires sous une courbe.
Interprétation géométrique de l'intégrale comme mesure de l'aire sous une courbe.
Applications pratiques :
Ces notions d'algèbre et d'analyse sont souvent appliquées à la résolution de problèmes concrets, comme :
La modélisation de phénomènes physiques ou économiques à l’aide de fonctions.
L’optimisation (maximisation ou minimisation) de fonctions pour résoudre des problèmes de gestion ou d’ingénierie.
Approfondissement et exercices :
Pour renforcer la compréhension de ces concepts, de nombreux exercices et travaux dirigés sont proposés, permettant aux élèves de maîtriser la résolution d'équations, l'étude de fonctions complexes, et le calcul intégral.
Ces notions sont fondamentales pour la réussite au Baccalauréat et dans les études supérieures, notamment dans les domaines scientifiques et techniques.

1. Définition et généralités

Les fonctions polynomiales sont un aspect fondamental du programme de mathématiques en Terminale D. Elles sont des fonctions définies par des polynômes, c'est-à-dire des expressions algébriques composées de puissances de la variable indépendante (souvent notée x) avec des coefficients réels. Voici un aperçu détaillé de ce que couvre l'étude des fonctions polynomiales :

1. Définition et généralités
Une fonction polynomiale de degré 𝑛 est une fonction de la forme :

2. Comportement des fonctions polynomiales en fonction du degré

Polynôme de degré 1 (fonction affine) :
𝑃(𝑥)=𝑎𝑥+𝑏
C'est une droite dont la pente est 𝑎 et l'ordonnée à l'origine est 𝑏.
Si 𝑎>0, la droite est croissante, sinon elle est décroissante.
Polynôme de degré 2 (fonction quadratique) :
𝑃(𝑥)=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐
La représentation graphique est une parabole.
Si 𝑎>0, la parabole est tournée vers le haut, sinon vers le bas.
Polynôme de degré 3 (fonction cubique) :
𝑃(𝑥)=𝑎𝑥3+𝑏𝑥2+𝑐𝑥+𝑑
Le graphe de cette fonction a une forme de « S » et peut comporter un point d'inflexion.

3. Étude de la variation d'une fonction polynomiale

Dérivée d'une fonction polynomiale :
La dérivée d'un polynôme est également un polynôme.

4. Racines et factorisation

Une racine d'un polynôme 𝑃(𝑥) est un nombre 𝑟 tel que 𝑃(𝑟)=0
Un polynôme peut être factorisé en produit de facteurs de la forme (𝑥−𝑟), où 𝑟 est une racine du polynôme.
Pour les polynômes de degré 2, on utilise la formule du discriminant pour résoudre 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0
Si Δ=𝑏2−4𝑎𝑐>0, le polynôme admet deux racines réelles distinctes.
Si Δ=0, il admet une racine double.
Si Δ<0, il n'a pas de racines réelles.

5. Comportement asymptotique

Pour les fonctions polynomiales de degré supérieur à 1, le comportement à l'infini est dicté par le terme de plus haut degré.
Si 𝑎𝑛>0 pour un polynôme de degré 𝑛, alors la fonction tend vers +∞ quand 𝑥
tend vers +∞ et vers −∞ quand 𝑥 tend vers −∞(et inversement si 𝑎𝑛<0).

6. Étude graphique et Applications pratiques

Étude graphique
Le tracé d’une fonction polynomiale se fait en étudiant ses variations (croissance, décroissance), ses zéros (racines), et ses asymptotes éventuelles (pour des fonctions rationnelles associées).
Les courbes obtenues dépendent du degré du polynôme :
Droite pour un polynôme de degré 1.
Parabole pour un polynôme de degré 2.
Courbes plus complexes pour les polynômes de degré 3 et plus, avec des points d’inflexion ou des ondulations.

Applications pratiques
Les fonctions polynomiales interviennent dans de nombreuses applications, notamment en physique (modélisation de trajectoires par des polynômes du second degré), en économie (modélisation de courbes de coût ou de profit), et en ingénierie.
Cette étude permet de comprendre le comportement global des fonctions polynomiales et prépare à l'analyse plus avancée des fonctions en général, y compris les fonctions rationnelles et transcendantales.

7. Exercices et corriges

Voici une série d'exercices sur les fonctions polynomiales de différents niveaux de difficulté, suivis de leurs corrections.

Exercice 1 : Étude d'une fonction polynomiale de degré 2

Soit la fonction 𝑓(𝑥)=3𝑥2−6𝑥+2.

1. Dérivée et points critiques :

- Calculez la dérivée de 𝑓(𝑥)
- Trouvez les points critiques en résolvant
𝑓′(𝑥)=0.

2. Étude du signe :
- Trouvez les racines de 𝑓(𝑥).
-Complétez un tableau de signes.

3. Tableau de variations :
- Complétez le tableau de variations de la fonction.
- Tracé du graphe : En vous basant sur les résultats obtenus, tracez le graphe de la fonction.

Correction Exercice 1

1. Dérivée : 𝑓′(𝑥)=6𝑥−6
Les points critiques sont obtenus en résolvant
𝑓′(𝑥)=0, c'est-à-dire 6𝑥−6=0, donc 𝑥=1.

2. Racines de la fonction : Pour trouver les racines de 𝑓(𝑥)=3𝑥2−6𝑥+2, on utilise le discriminant :
Δ=(−6)2−4×3×2=36−24=12

Exercice 2 : Étude d'une fonction polynomiale de degré 3

Soit la fonction 𝑔(𝑥)=𝑥3−3𝑥2+2𝑥.

1. Dérivée et points critiques :
-Calculez la dérivée de 𝑔(𝑥).
-Trouvez les points critiques en résolvant 𝑔′(𝑥)=0

2.Tableau de variations :
-Construisez le tableau de variations de 𝑔(𝑥).
3.Étude des racines :
- Résolvez l'équation 𝑔(𝑥)=0.
- Factorisez 𝑔(𝑥).

Correction Exercice 2

1. Dérivée :
𝑔′(𝑥)=3𝑥2−6𝑥+2

2.Les points critiques sont obtenus en résolvant 3𝑥2−6𝑥+2=0. Le discriminant est :
Δ=(−6)2−4×3×2=36−24=12

Exercice 3 : Résolution d'une inéquation polynomiale

Résoudre l'inéquation suivante :
𝑃(𝑥)=2𝑥3−5𝑥2+𝑥+3≥0

Correction Exercice 3

Étude des racines :
Pour résoudre
𝑃(𝑥)=2𝑥3−5𝑥2+𝑥+3=0, on utilise une méthode numérique ou un logiciel pour obtenir les racines approximatives :
𝑥1≈−1.12
𝑥2≈0.72
𝑥3≈3.4

Étude du signe :

Sur chaque intervalle déterminé par les racines, on étudie le signe de 𝑃(𝑥).
Le signe de 𝑃(𝑥) change à chaque racine, donc on obtient les intervalles de positivité et de négativité.
Solution : L'inéquation 2𝑥3−5𝑥2+𝑥+3≥0 est satisfaite pour 𝑥∈[−1.12,0.72]∪[3.4,+∞[.

ANALE MATHEMATIQUE TERMINALE D

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AUTRES CHAPITRES DE CE COURS

2. Étude des fonctions : Fonctions rationnelles

3. Étude des fonctions : Fonctions exponentielles

4.) Etudes de fonctions: les fonctions logarithmiques

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