Cours de mathématiques terminale D
Chapitre : 4.) Etudes de fonctions: les fonctions logarithmiques
Les fonctions logarithmiques sont l'inverse des fonctions exponentielles et jouent un rôle central dans l'analyse mathématique. En Terminale D, l'étude des fonctions logarithmiques porte sur les propriétés, les dérivées, et les applications, notamment dans le cadre de la résolution d'équations ou d'inégalités.
I./ Définition de la fonction logarithme
La fonction logarithme d’une base 𝑎, avec 𝑎>0 et 𝑎≠1, est définie comme l'inverse de la fonction exponentielle de base 𝑎. Cela signifie que si 𝑎 exponentiel 𝑦 est égal à 𝑥 (𝑎^𝑦 =𝑥), alors 𝑦 est égal à logarithme de base a de 𝑥 c'est à dire 𝑦=log𝑎(𝑥).
Cependant, en analyse, on utilise principalement la fonction logarithme naturel, qui est le logarithme de base 𝑒, noté ln(𝑥). Il est défini par : ln(𝑥) égal à 1 sur t multiplier par la dérivée de t pour t allant de 1 à 𝑥.
II./ Propriétés générales de la fonction logarithme naturel ln(x)
1. Domaine de définition
ln(x) est définie pour x>0
2. L'Image de la fonction logarithme
ln(x) prend toutes les valeurs réelles, c’est-a-dire sur IR.
4. Monotonie et Asymptotes
Monotonie : ln(x)est strictement croissante sur ]0,+∞[.
- Asymptotes : La fonction logarithme a une asymptote verticale en x=0, car :
lim ln(𝑥)=−∞ quand x→0+
Il n’y a pas d’asymptote horizontale.
4.) Limites et Dérivée
- Limites :
* À l’infini : lim ln(x)=+∞ quand x→+∞
* Aux abords de zéro : lim ln(𝑥)=−∞ quand 𝑥→0+
-Dérivée :
(𝑑/𝑑𝑥)ln(𝑥)= 1/𝑥
La dérivée de ln(x) est positive sur ]0,+∞[, ce qui confirme que la fonction est strictement croissante.
5.Comportement à l'infini
Lorsque 𝑥→+∞, la fonction ln(x) croit lentement, contrairement à une fonction exponentielle.
III./ Étude de la fonction logarithme naturel 𝑓(𝑥)= ln(𝑥)
1. Domaine de définition :
𝑓(𝑥)=ln(𝑥) est définie sur ]0,+∞[
2. Sens de variation :
La dérivée de 𝑓(𝑥) est 𝑓′(𝑥)=1/𝑥', qui est strictement positive sur ]0,+∞[. Donc, 𝑓(𝑥)=ln(𝑥) est strictement croissante sur cet intervalle.
3. Limites :
* lim ln(𝑥)=−∞ quand 𝑥→0+,
* lim ln(x)=+∞ quand x→+∞
4. Asymptotes :
Asymptote verticale en 𝑥=0, car la fonction tend vers −∞ lorsque 𝑥x tend vers 0.
IV./ Propriétés des logarithmes
1. Logarithme d'un produit :
ln(𝑎𝑏)=ln(𝑎)+ln(𝑏)
2. Logarithme d'un quotient :
ln(𝑎/𝑏)=ln(𝑎)−ln(𝑏)
3. Logarithme d'une puissance :
ln(𝑎^𝑛)=𝑛ln(𝑎)
Ces propriétés sont essentielles pour simplifier les calculs et résoudre des équations impliquant des logarithmes.
V./ Étude complète d'une fonction logarithmique
Soit la fonction 𝑓(𝑥)=ln(2𝑥−3).
1. Domaine de définition
Il faut que l'argument du logarithme soit strictement positif, c'est-à-dire que
2𝑥−3>0. On résout cette inégalité :2𝑥 > 3 ⇒ 𝑥 > 3/2
Ainsi, le domaine de définition de 𝑓(𝑥) est ]3/2,+∞[.
2. Dérivée de la fonction
La dérivée de 𝑓(𝑥)=ln(2𝑥−3)
f(x)=ln(2x−3) est donnée par la règle de dérivation de la composée :
𝑓′(𝑥)=1/(2𝑥−3)*2=2/(2𝑥−3).
Cette dérivée est positive sur ]3/2,+∞[, donc la fonction est strictement croissante sur son domaine.
3. Limites
Limite en 𝑥=3/2+ :
lim ln(2𝑥−3)=ln(0+)=−∞ quand 𝑥→3/2+
La fonction a une asymptote verticale en 𝑥=3/2.
Limite en +∞ :
lim ln(2𝑥−3)=+∞ quand 𝑥→+∞
4. Tableau de variations
5. Tracé du graphe
Le graphe de 𝑓(𝑥)=ln(2𝑥−3) a une asymptote verticale en 𝑥=3/2 et croît sans limite vers +∞
VI./ Exercice type sur les fonctions logarithmiques et correction
Exercice 1 : Soit la fonction 𝑓(𝑥)=ln(𝑥^2−4).
Déterminez le domaine de définition de 𝑓(𝑥).
Calculez la dérivée de 𝑓(𝑥).
Étudiez les variations de 𝑓(𝑥).
Étudiez le comportement asymptotique de 𝑓(𝑥).
Correction
Pour que 𝑓(𝑥)=ln(𝑥^2−4) soit définie, il faut que 𝑥^2−4>0. Cela donne 𝑥<−2 ou 𝑥>2. Le domaine de définition est donc 𝐷𝑓=]−∞,−2[∪]2,+∞[.
La dérivée est donnée par : 𝑓′(𝑥)=2𝑥/(𝑥^2−4).
On étudie le signe de 𝑓′(𝑥) pour déterminer les variations. La fonction est croissante sur ]2,+∞[ et décroissante sur ]−∞,−2[.
Asymptotes :
Asymptote verticale en 𝑥=−2 et 𝑥=2, car la fonction tend vers −∞ lorsque 𝑥 approche ces valeurs.
VII./ Applications des fonctions logarithmiques
Les fonctions logarithmiques sont souvent utilisées dans les domaines suivants :
Modélisation des phénomènes de décroissance : par exemple, la décroissance d’une population dans un environnement limité.
Acoustique : le niveau sonore (en décibels) est souvent exprimé en fonction logarithmique.
Finance : la fonction logarithme est utilisée pour mesurer les rendements continus dans les modèles financiers.
Cette étude présente les propriétés essentielles des fonctions logarithmiques et les techniques pour les analyser.
AUTRES CHAPITRES DE CE COURS
1. Algèbre et Analyse : Étude des fonctions, les fonctions polynomiales
2. Étude des fonctions : Fonctions rationnelles
3. Étude des fonctions : Fonctions exponentielles
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