Cours de mathématiques terminale D
Chapitre : 2. Étude des fonctions : Fonctions rationnelles
L'étude des fonctions rationnelles est une partie importante de l'analyse mathématique au lycée, notamment en Terminale D. Une fonction rationnelle est le quotient de deux polynômes, et son étude englobe des notions comme les asymptotes, les zéros, et le comportement à l'infini. Voici une présentation complète sur les fonctions rationnelles.
I./ Définition d'une fonction rationnelle
Une fonction rationnelle est une fonction de la forme :
𝑓(𝑥)=𝑃(𝑥) / 𝑄(𝑥) où 𝑃(𝑥) et 𝑄(𝑥) sont des polynômes, avec 𝑄(𝑥)≠0. Le domaine de définition de cette fonction est l'ensemble des réels tels que 𝑄(𝑥)≠0, car la division par zéro est interdite.
Exemple :
La fonction rationnelle suivante est définie pour tout 𝑥 sauf les valeurs annulant le dénominateur :
𝑓(𝑥)= (2𝑥2−3𝑥+1) / (x−1)
Elle est définie sur 𝑅∖{1}.
II./ Étapes de l'étude d'une fonction rationnelle
1. Détermination du domaine de définition
Le domaine de définition d'une fonction rationnelle est l'ensemble des réels pour lesquels le dénominateur 𝑄(𝑥) est non nul. Il s'agit donc de résoudre l'équation 𝑄(𝑥)=0 pour exclure les valeurs qui annulent le dénominateur.
Exemple :
Pour 𝑓(𝑥)=(𝑥2−4𝑥+3) / (x+3), le domaine de définition est :
𝐷𝑓=𝑅∖{−3} car 𝑄(𝑥)=𝑥+3=0 pour 𝑥=−3.
2. Recherche des zéros de la fonction
Les zéros d'une fonction rationnelle sont les solutions de l'équation
𝑃(𝑥)=0, c'est-à-dire les valeurs de 𝑥 qui annulent le numérateur.
Exemple :
Pour 𝑓(𝑥)=(𝑥2−4 ) / (𝑥+3), les zéros de la fonction sont les solutions de 𝑥2−4=0, donc 𝑥=−2 et 𝑥=2.
3. Étude des asymptotes
Une fonction rationnelle peut avoir des asymptotes verticales et des asymptotes horizontales ou obliques.
3.1. Asymptotes verticales
Elles apparaissent lorsque le dénominateur s'annule, c'est-à-dire en 𝑥=𝑎 si 𝑄(𝑎)=0 et 𝑃(𝑎)≠0.
Exemple :
Pour 𝑓(𝑥)=1 / (𝑥−1), la fonction admet une asymptote verticale en 𝑥=1, car le dénominateur s'annule en cette valeur.
3.2. Asymptotes horizontales
Elles apparaissent lorsque 𝑥tend vers +∞ ou −∞, et se produisent si le degré du numérateur est inférieur ou égal au degré du dénominateur.
Si
deg(𝑃(𝑥))<deg(𝑄(𝑥)), l'asymptote est 𝑦=0
Si deg(𝑃(𝑥))=deg(𝑄(𝑥)), l'asymptote est de la forme 𝑦=𝑎𝑛/𝑏𝑛, où 𝑎𝑛 et 𝑏𝑛 sont les coefficients des termes de plus haut degré de 𝑃(𝑥) et 𝑄(𝑥).
Exemple :
Pour 𝑓(𝑥)=2𝑥 / (𝑥+1), le degré du numérateur et du dénominateur est 1. L'asymptote horizontale est :𝑦=2/1=2
3.3. Asymptotes obliques
Elles apparaissent lorsque deg(𝑃(𝑥))=deg(𝑄(𝑥))+1.
Pour déterminer l'équation de l'asymptote oblique, on effectue la division euclidienne de 𝑃(𝑥) par 𝑄(𝑥).
Exemple :
Soit 𝑓(𝑥)=(𝑥2+3𝑥+1) / (𝑥+2)
. En effectuant la division euclidienne, on obtient :
𝑓(𝑥)=𝑥+1+ (−1/(𝑥+2))
L'asymptote oblique est donc 𝑦=𝑥+1.
4. Étude des variations et tracé du graphe
L'étude des variations consiste à dériver la fonction pour déterminer ses points critiques et son sens de variation (croissante ou décroissante). Une fois le tableau de variations établi, on peut tracer le graphe en tenant compte des asymptotes et des zéros.
Exemple :
Soit 𝑓(𝑥)=(𝑥2−4) / (𝑥+3).
Le domaine de définition est 𝑅∖{−3}.
Les zéros de la fonction sont 𝑥=−2 et 𝑥=2.
Il y a une asymptote verticale en 𝑥=−3.
Comme le degré du numérateur (2) est supérieur à celui du dénominateur (1), il y a une asymptote oblique. En divisant, on obtient 𝑓(𝑥)=𝑥−3+ (5 / (𝑥+3)), donc l'asymptote oblique est 𝑦=𝑥−3.
On dérive la fonction pour déterminer les variations.
III./ Exercice type et correction sur les fonctions rationnelles
Exercice type sur les fonctions rationnelles
Soit la fonction 𝑓(𝑥)=(3𝑥2−5𝑥+2) / (𝑥−1).
1. Déterminez le domaine de définition de la fonction.
2.Trouvez les zéros de 𝑓(𝑥).
3.Étudiez les asymptotes de 𝑓(𝑥) (verticale, horizontale ou oblique).
4.Calculez la dérivée de 𝑓(𝑥) et étudiez les variations de la fonction.
5.Tracez le graphe de 𝑓(𝑥).
Correction de l'exercice
1. Le domaine de définition est 𝐷𝑓=𝑅∖{1}.
2. Les zéros de 𝑓(𝑥) sont les solutions de 3𝑥2−5𝑥+2=0, ce qui donne 𝑥=1 et 𝑥=2/3.
Toutefois, 𝑥=1 doit être exclu, car il annule aussi le dénominateur.
3. Il y a une asymptote verticale en 𝑥=1, et une asymptote oblique. En divisant 3𝑥2−5𝑥+2 par 𝑥−1, on trouve 𝑓(𝑥)=3𝑥−2+ (0 / (𝑥−1), donc l'asymptote oblique est 𝑦=3𝑥−2.
4. La dérivée est calculée pour obtenir les variations.
Cette étude permet d'aborder les fonctions rationnelles dans leur globalité en préparant aux exercices courants rencontrés en Terminale D.
AUTRES CHAPITRES DE CE COURS
1. Algèbre et Analyse : Étude des fonctions, les fonctions polynomiales
3. Étude des fonctions : Fonctions exponentielles
4.) Etudes de fonctions: les fonctions logarithmiques
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