Cours de mathématiques terminale D
Chapitre : 3. Étude des fonctions : Fonctions exponentielles
L'étude des fonctions exponentielles est une partie centrale du programme de mathématiques de Terminale D. Une fonction exponentielle est une fonction qui modélise des phénomènes de croissance ou de décroissance rapides, comme l'intérêt composé, la démographie, ou encore la radioactivité.
Voici une étude complète des fonctions exponentielles, incluant des définitions, propriétés, et techniques d'analyse.
I./ Définition d'une fonction exponentielle
Une fonction exponentielle de base 𝑎 (avec 𝑎>0 et 𝑎≠1) est une fonction définie par :𝑓(𝑥)=𝑎𝑥
La base la plus utilisée est 𝑒≈2,718, le nombre d'Euler. La fonction exponentielle associée à cette base est :𝑓(𝑥)=𝑒𝑥.
Cette fonction est appelée fonction exponentielle naturelle.
II./ Propriétés générales des fonctions exponentielles
1. Domaine de définition :
La fonction exponentielle est définie sur IR.
2. Image :
L'image de la fonction exponentielle est ]0,+∞[. C'est une fonction strictement positive, car 𝑎𝑥>0 pour tout 𝑥.
3.Monotonie :
Si 𝑎>1, la fonction 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥 est strictement croissante sur IR.
Si 0<𝑎<1, la fonction 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥 est strictement décroissante sur IR.
4. Asymptotes :
Les fonctions exponentielles n'ont pas d'asymptotes verticales, mais elles ont une asymptote horizontale : 𝑦=0, car lorsque 𝑥→−∞, 𝑎𝑥→0 pour 𝑎>0.
5. Comportement à l'infini :
Si 𝑎>1, alors lim𝑥→+∞ de 𝑎𝑥=+∞ et limx→-∞ de 𝑎𝑥=0
Si 0<𝑎<1, alors lim𝑥→+∞ de 𝑎𝑥=0 et lim𝑥→−∞ de 𝑎𝑥=+∞.
III./ Étude de la fonction exponentielle naturelle 𝑓(𝑥)=𝑒𝑥 (e exponentiel x)
1. Domaine : 𝑓(𝑥)=𝑒𝑥 est définie sur IR.
2. Image : L'image de 𝑒𝑥 est ]0,+∞[.
3. Sens de variation :
La fonction 𝑒𝑥 est strictement croissante sur IR.
4.Asymptote :
𝑒𝑥 tend vers 0 quand 𝑥→−∞, donc elle a une asymptote horizontale en 𝑦=0.
5.Dérivée :
𝑓′(𝑥)=𝑒𝑥
La dérivée de 𝑒𝑥 est elle-même, ce qui montre que la fonction est toujours croissante.
Limites :
lim𝑥→+∞ de 𝑒𝑥=+∞ ,lim𝑥→−∞ de 𝑒𝑥=0
IV. Étude complète d'une fonction exponentielle
Soit la fonction 𝑓(𝑥)=𝑒2𝑥−3.
1. Domaine de définition
La fonction 𝑓(𝑥)=𝑒2𝑥−3 est définie sur IR car 𝑒2𝑥 est définie pour tout 𝑥.
2. Étude des variations
Dérivée de 𝑓(𝑥) :𝑓′(𝑥)=2𝑒2𝑥 Comme 𝑒2𝑥>0 pour tout 𝑥, on en déduit que 𝑓′(𝑥)>0, donc 𝑓(𝑥) est strictement croissante sur IR.
V. Exercice type sur les fonctions exponentielles
Exercice : Soit la fonction 𝑓(𝑥)=3𝑒𝑥−2.
1. Déterminez le domaine de définition de la fonction.
2. Calculez la dérivée de la fonction.
3. Étudiez les variations de 𝑓(𝑥).
4. Étudiez le comportement asymptotique de 𝑓(𝑥).
5. Tracez le graphe de 𝑓(𝑥).
VI. Correction de l'exercice
1. Le domaine de définition est IR.
2. La dérivée est : 𝑓′(𝑥)=3𝑒𝑥
Comme 𝑒𝑥>0, 𝑓′(𝑥)>0, donc la fonction est strictement croissante sur IR.
3.Limites :
lim𝑥→+∞ de 𝑓(𝑥)=+∞,
lim𝑥→−∞ de 𝑓(𝑥)=−2
L'asymptote horizontale est donc 𝑦=−2.
Le graphe de 𝑓(𝑥) a une asymptote horizontale en 𝑦=−2 et croît rapidement à partir de cette valeur.
VII./ Applications des fonctions exponentielles
Les fonctions exponentielles sont souvent utilisées pour modéliser des phénomènes de croissance ou de décroissance :
Croissance démographique : La population d'une ville peut croître selon une loi exponentielle du type 𝑃(𝑡)=𝑃0𝑒𝑘 , où 𝑘 est le taux de croissance.
Désintégration radioactive : La quantité d'une substance radioactive diminue exponentiellement avec le temps, selon la loi 𝑁(𝑡)=𝑁0𝑒−𝑘𝑡 , où 𝑘 est la constante de désintégration.
Cette étude couvre les principaux aspects des fonctions exponentielles, permettant de maîtriser leur analyse et leur application dans divers contextes.
AUTRES CHAPITRES DE CE COURS
1. Algèbre et Analyse : Étude des fonctions, les fonctions polynomiales
2. Étude des fonctions : Fonctions rationnelles
4.) Etudes de fonctions: les fonctions logarithmiques
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